Géométrie dans l'Égypte antique

Si la réputation des scribes en matière de mathématiques est, d'ordre général, inférieure à celle des Babyloniens ou des grecs, la géométrie, au regard des prouesses techniques réalisées particulièrement tôt dans leur histoire, fut leur domaine de prédilection...



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Histoire de la géométrie - Mathématiques dans l'Égypte antique

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Si la réputation des scribes en matière de mathématiques est , d'ordre général, inférieure à celle des Babyloniens ou des grecs, la géométrie, au regard des prouesses techniques réalisées particulièrement tôt dans leur histoire, fut leur domaine de prédilection et il ne fait nul doute actuellement que cette science associée à l'architecture, fit la grande réputation des Égyptiens.

C'est l'une des raisons pour lesquelles leur pays accueillit en pèlerinage les savants de la Grèce antique. Les égyptiens réussirent ainsi à calculer la surface d'un disque sans connaître le nombre pi, avec une erreur d'uniquement 0, 6%. Ils calculaient la surface d'un cercle en élevant au carré les 8/9 du diamètre, ce qui revient à une approximation de pi égale à 3, 1605 (au lieu de 3, 1416). Ils pouvaient calculer les volumes de pyramides et de cylindres et l'aire d'une sphère. Certains problèmes figurant sur les papyri mathématiques du Moyen Empire préfigurent même les théorèmes de Thalès et de Pythagore.

Le triangle

Problèmes R49→R55 du papyrus Rhind

Aucun document mathématique de l'Ancien Empire ne nous est parvenu. Mais l'architecture monumentale des IIIe et IVe dynastie forme une preuve remarquable que les Égyptiens de cette époque détenaient des connaissances assez élaborées en géométrie, et surtout dans l'étude des triangles (§ Le triangle égyptien ou triangle 3-4-5).

figure du triangle représentée dans le problème R51 du papyrus Rhind

Le calcul de l'aire de cette figure est étudié dans les problèmes R51 du papyrus Rhind, M4, M7 et M17 du papyrus de Moscou et datant tous du Moyen Empire. Le problème R51 forme, dans l'histoire mondiale des mathématiques, le premier témoignage rédigé traitant du calcul de l'aire d'un triangle.

Énoncé du problème R51 du papyrus Rhind[1] 
«Exemple de calcul d'un triangle de terre. Si quelqu'un te dit : Un triangle de 10 khet sur son mryt et de 4 khet sur sa base. Quelle est sa superficie ? Calcule la moitié de 4 qui est 2 pour en faire un rectangle. Tu fais en sorte de multiplier 10 par 2. Ceci est sa superficie.»

Le terme mryt veut dire certainement hauteur, ou côté. Mais la formule utilisée pour le calcul de l'aire fait pencher l'interprétation en faveur de la première solution[2]. Le scribe prenait la moitié de la base du triangle et calculait l'aire du rectangle constitué par ce côté et la hauteur, soit

A = \frac{base}{2}{mryt}

équivalente à la formule générale utilisée aujourd'hui :

S = \frac{ah}{2}

Le triangle égyptien ou triangle 3-4-5

Triangle égyptien dans une pyramide

Un triangle dont les côtés sont en proportion 3-4-5 est rectangle, l'angle droit étant défini par les côtés 3 et 4. Cette propriété se démontre par la réciproque du théorème de Pythagore, du fait que 32 + 42 = 52 (car 9 + 16 = 25).

Le triangle rectangle 3-4-5 est particulièrement anciennement connu : le triplet pythagoricien 3-4-5 est mentionné sur des tablettes babyloniennes. Il est clairement attesté dans quatre des sections du papyrus Rhind : R57, R58, R59a et R59b, dans le calcul de la pente d'une pyramide[3] (inclinaison de 5 + 1/4 palmes, voir papyrus Rhind).

Il est admis que les architectes égyptiens traçaient leurs angles droits au moyen de ce triangle égyptien, mais cette technique semblait tellement naturelle qu'elle a laissé peu de traces rédigées. L'usage perdurera tout au long du Moyen-Âge (voir corde à treize nœuds).

La pyramide de Khephren est construite en respectant le triangle directeur des quatre exemples du papyrus Rhind : la ligne qui plus est grande pente d'une face étant comme 5, la verticale du sommet à la base est comme 4 et la demi-base qui termine le triangle rectangle est comme 3, ce qui correspond à un angle théorique de 53 °07'48" de la ligne qui plus est grande pente avec l'horizontale. L'angle mesuré par Petrie (53 °10', voir pyramide de Khephren) est particulièrement proche de cette valeur. Le carré de la base, de 215, 16 m de côté, est exact à 8 cm près, les côtés sont parallèles à 1'près, les faces sont orientées avec les points cardinaux à 5'près. La hauteur, évaluée à 143, 87 m, correspond pour le tétraèdre à une pente de 53 °13'[4].

Lorsque on sait que, aujourd'hui toujours, une bonne chaîne d'arpenteur, c'est-à-dire une ruban en acier à cœfficient de dilatation minimal, de 30 m de long, donne une précision maximale de +/- 0, 5 cm par portée de 30 m et qu'un théodolite (mesureur d'angle) de chantier a une précision angulaire réelle de 25 gon (+/- 22, 6") soit le cinquième de la précision sur le parallélisme des côtés de la base, on peut être en droit de se demander comment ce résultat à pu être obtenu avec instruments aussi simples qu'une corde à 13 nœuds.

Calcul d'une pente

Les problèmes R56, R57, R58 et R59 du papyrus Rhind détaillent la méthode de calcul de la pente d'une pyramide. Cette pente est désignée en ancien égyptien par le terme seked. Elle est le résultat de la demi-base divisée par la hauteur.

Énoncé du problème R56 du papyrus Rhind[5] 
«Une pyramide dont le côté est de 360 (coudées) et dont la hauteur est 250 (coudées). Fais en sorte de connaitre sa pente. Prends la moitié de 360. Le résultat est 180. Multiplie 250 de sorte à trouver 180. Cela fait 1/2 1/5 1/50 d'une coudée. Une coudée vaut 7 palmes. Multiplie 7 comme il suit :»
Représentation d'une pyramide. Calcul de la pente b/h
1 7
1/2 3 1/2
1/5 1 1/3 1/15
1/50 1/10 1/25
«La pente est de 5 1/25 palmes.»

Cette solution représente pour le mathématicien moderne le produit par sept de la cotangente de l'angle constitué par la demi-base et l'apothème de la pyramide (l'angle constitué par b et a sur la figure ci-contre). Les Égyptiens l'exprimèrent en coudées, puis finalement en palmes (une coudée valant 7 palmes). Le Seqed ne représentait par conséquent pas à proprement parler une pente. Mais plutôt la mesure du côté horizontal du triangle proportionnel dont la hauteur vaut une coudée, côté exprimé ensuite en palmes. Donc, la formule suivante permettait d'obtenir le seqed de la pyramide : Seqed = \frac{b}{h}\cdot 7.

Le seqed correspond aussi à la différence de longueur des côtés inférieur et supérieur d'une pierre qui épouse la pente de la pyramide. Il permettait par conséquent d'en déterminer la coupe.

Le trapèze ou triangle tronqué

L'aire d'un trapèze est idéalement calculé dans le problème R52 du papyrus Rhind[6] :

«Si on te dit : quelle est l'aire d'un triangle tronqué d'un terrain de 20 khet en sa hauteur, de 6 khet en sa base et de 4 khet en sa ligne tronquée ? Ajoutes sa base à sa ligne tronquée. Cela fait 10. Prends la moitié de 10, 5, de sorte à obtenir un rectangle. Fais 20 fois 5. Cela fait 10. Ceci est sa surface. Calcule comme il suit :»
1 1000
1/2 500
? 1 2000
2 4000
? 4 8000

10000 (100 setjat)

Méthode équivalente à l'application de la formule A = \frac {1} {2} \cdot (4 + 6) \cdot 20.

Le rectangle

Le papyrus de Moscou présente un problème illustrant l'idéale connaissance du calcul de l'aire d'un rectangle :

Énoncé du problème R6 du papyrus de Moscou[7] 
«Exemple de calcul d'un rectangle. Si quelqu'un te dit : Un rectangle de 12 setjat, d'une largeur de 1/2 1/4 sa longueur. Calcule 1/2 1/4 pour avoir 1. Le résultat est 1 1/3. Prends les 12 setjat fois 1 1/3. Le résultat est 16. Calcule sa racine carrée. Le résultat est 4 pour sa longueur. 1/2 1/4 de ceci est 3 pour la largeur.»
Explication 

Ce problème consiste à déterminer la longueur d'un rectangle, le rapport largeur/longueur et l'aire étant fixés.

Problème posé par le scribe Transcription du problème en langage algébrique moderne
Un rectangle de 12 setjat. Soit un rectangle dont l'aire est de 12 Setjat (que on sert à désigner par B). B = 12.
d'une largeur de 1/2 1/4 sa longueur. Le rapport de la largeur sur la longueur de ce rectangle est de 1/2 + 1/4. soit L cette longueur. la largeur vaut l=L* (1/2+1/4)
Calcule 1/2 1/4 pour avoir 1. Choisis une largeur de 1 et calcule la longueur en faisant l'inverse de 1/2 + 1/4.
Le résultat est 1 1/3. Le résultat est 1 + 1/3, rapport de la longueur sur la largeur.
Prends les 12 setjat fois 1 1/3 Calcule B* (1+1/3) soit L*[L* (1/2+1/4) ]* (1+1/3) =L² ce qui revient à transformer le rectangle en carré de côté L.
Le résultat est 16. L² = 16.
Calcule sa racine carrée. Calcule L.
Le résultat est 4 pour sa longueur. L = 4. La longueur du rectangle de 12 setjat est par conséquent 4.
1/2 1/4 de ceci est 3 pour la largeur. La largeur du rectangle de 12 setjat vaut 4 * (1/2+1/4), soit l=3.

Le cercle et l'ellipse

Le calcul de l'aire d'un disque représente probablement l'un des progrès les plus significatifs effectué en mathématiques par les anciens égyptiens. Il est aussi l'un des exercices qui a fait couler le plus d'encre, le nombre pi et la quadrature du cercle semblant intimement liés au problème. Le calcul de l'aire est ainsi traité dans les problèmes R41, R42, R43, R48 et R50 du papyrus Rhind et enfin le problème M10 du papyrus de Moscou.

Énoncé du problème R50 du papyrus Rhind[8] 
«Exemple de calcul d'un champ rond de 9 khet. De combien est la surface du champ ? Soustrais son neuvième qui est 1. Il reste 8. Multiplie 8 par 8. Cela fait 64. Ceci est la surface du champ, à savoir 64 setjat. Fais comme suit :»
1 9
? 1/9 1
«Soustrais-le, il reste 8»
1 8
2 16
4 32
? 8 64
«La surface du champ est 64 setjat

La formule appliquée par la scribe est par conséquent clairement : Aire = (d − (1 / 9) * d) 2, d étant le diamètre du disque. L'énoncé évoque un champ rond de 9 khet, étant sous-entendu que 9 khet est le diamètre.

Cette formule est équivalente à celle-ci : Aire = (64 / 81) * d2. La formule moderne du calcul de l'aire d'un disque étant πr2 ou (π / 4) d2, la majorité des auteurs attribuent aux anciens Égyptiens l'approximation de la valeur π à 256/81 soit 3, 1605, valeur remarquable pour l'époque[9]. Cependant, le problème R50 exposé ci-dessus ne prouve pas que les Égyptiens aient eu conscience de l'existence de cette constante. L'unique certitude est qu'ils pouvaient calculer l'aire d'un disque à partir de son diamètre, et d'en donner une valeur approchée avec une grande précision en l'assimilant à un carré. La méthode employée pourrait bien trouver une explication dans une esquisse géométrique du problème R48 du papyrus Rhind[10].

Opérations du problème R48 du papyrus Rhind 
Problème R48 du papyrus Rhind (en écriture hiératique à gauche, transcrit en écriture hiéroglyphique à droite)
1 8 setjat
2 16 setjat
4 32 setjat
? 8 64 setjat

et

? 1 9 setjat
2 18 setjat
4 36 setjat
? 8 72 setjat

81

Le problème ne contient aucun énoncé, ce qui rend son interprétation délicate. Néanmoins, son intérêt réside dans l'esquisse accompagnant les opérations mathématiques décrites ci-dessus. Celle-ci représente un cercle maladroitement dessiné (ou bien une figure octogonale) inscrit dans un carré. À l'évidence, les calculs sont relatifs à l'aire du disque de diamètre 9, comparable à celui du problème R50.

La première hypothèse concernant ce dessin est que le scribe considère le disque dont il cherche l'aire comme équivalent à un octogone. Ce dernier est ainsi inscrit dans un carré dont les côtés sont égaux au diamètre du disque. L'octogone ayant une aire de 9² - 2 * 3² = 63, la surface du disque est alors approximée à 64[11].

La seconde hypothèse, avancée par Michel Guillemot, reproduit plus scrupuleusement le dessin et considère que la surface du disque est équivalente à un octogone irrégulier dont l'aire est précisément de 9² - (3² + 2*4) = 64 (voir figure ci-dessous). Cet auteur est allé plus loin en émettant l'hypothèse que le scribe pouvait reconstituer un carré de côté 8 en décomposant cet octogone, ce qui revient à avancer que l'idée de quadrature du cercle était déjà présente à leur esprit[12]. Cette dernière hypothèse a cependant le mérite de donner une explication satisfaisante à la formule utilisée au problème R50, qui revient à avancer l'égalité entre l'aire d'un disque et l'aire d'un carré dont les côtés sont égaux au 8/9e du diamètre du disque.

Cette recherche géométrique pourrait trouver un équivalent dans une autre esquisse, découverte sur un mur du temple de Louxor par Ludwig Borchardt. C'est une ellipse construite avec un rectangle, les aires des deux figures n'étant différentes que de 1%[13].

Problème R48 du calcul de l'aire d'un disque. À droite, interprétation classique du problème; à gauche, interprétation de Michel Guillemot
Ellipse représentée sur un mur du temple de Louxor (dessin de Ludwig Borchardt)

.

La demi-sphère

Problème M10 tiré du papyrus de Moscou (à gauche, problème en hiératique; au centre, transcription du problème en écriture hiéroglyphique; à droite, inversion des signes et translittération)

L'énoncé M10 du papyrus de Moscou fut étudié maintes fois mais les auteurs ne s'accordent toujours pas sur l'interprétation du problème. Les tenants de l'étude de la surface d'un demi-cercle s'opposent à ceux de l'étude d'une demi-sphère. Il semble bien, aux vues de l'énoncé et en dépit des nombreuses questions que cela génère, que cette dernière proposition soit la plus acceptable.

Énoncé du problème M10 du papyrus de Moscou 
«Exemple de calcul d'un nbt. Si on te dit : Un nbt dont la base est 4 1/2 entre limites. Peux-tu me faire connaitre sa surface ? Tu feras en sorte de calculer 1/9 de 9. À cause de cela, le nbt est la moitié d'un objet rond, il adviendra 1. Tu feras en sorte de calculer le reste à 8. Tu feras en sorte de calculer 1/9 de 8. Il adviendra 2/3 1/6 1/18. Tu feras en sorte de calculer le reste de ce 8 comparé à ce 2/3 1/6 1/18. Il advient 7 1/9. Alors, tu feras en sorte de calculer 7 1/9, 4 1/2 fois. Il adviendra 32. Voici sa surface. Tu as trouvé idéalement.»

Le terme nbt est traduit par corbeille. L'égyptien aboutit par conséquent à un calcul donnant 32 comme résultat. Sylvia Couchoud a remarqué que la formule Aire = (256 / 81) / 2 * d2 de la surface d'une demi-sphère, π étant remplacé par le rapport égyptien 256/81, donne précisément le même résultat[14].

Calcul d'un volume

Autant l'arpentage nécessitait de solides connaissances quant aux calculs des aires, tout autant la vie domestique et la construction des grands édifices nécessitaient de savoir calculer des volumes, tels que ceux des greniers à blé ou des grandes constructions funéraires.

Volume d'un cube

Comme le montre le problème R44 du papyrus Rhind, la formule du volume d'un solide de forme cubique était connue des anciens Égyptiens : V = l * L * H où l, L et H sont respectivement la longueur, la largeur et la hauteur.

Énoncé du problème R44 du papyrus Rhind[15] 
«Exemple de calcul d'un grenier rectangulaire. Sa longueur est 10, sa largeur est 10 et sa hauteur est 10. Quel montant de grain cela fait-il ? Multiplie 10 par 10. Cela fait 100. Multiplie 100 par 10. Cela fait 1000. Prends la moitié de 1000, soit 500. Cela fait 1500. C'est sa quantité en khar. Prends 1/20 de 1500. Cela fait 75, sa quantité en quadruple-heqat, soit 7500 heqat de grain.»

Volume d'un cylindre (application aux greniers à blé)

Grenier à blé égyptien

Les calculs de volume d'un cylindre interviennent dans les études du contenu des grenier à blé dont la base est ronde. Les représentations égyptiennes de ce type de grenier sont habituelles (voir ci-contre). Le sommet est de forme ovoïde mais ce dernier n'est jamais pris en compte dans les calculs. L'introduction du grain se faisant par une trappe localisée au sommet, le tas de grain ne devait jamais dépasser la limite à partir de laquelle le diamètre du grenier diminuait.

Il existe deux types de calcul d'un tel volume. L'exemple suivant présente le premier type, basé sur le calcul de l'aire d'un disque.

Énoncé du problème R41 du papyrus Rhind[16] 
«Exemple de calcul d'un grenier rond dont le diamètre est 9 et la hauteur, 10. Extrait 1/9 de 9, soit 1. Le reste est 8. Multiplie 8 par 8. Cela fait 64. Multiplie 64 par 10. Cela fait 640 coudées (Sous-entendu coudées cubiques). Ajoute la moitié de cela à cela. Cela fait 960 : le contenu en khar. Prends 1/20 de 960, soit 48. C'est ce que cela donne en quadruple-heqat de grains, 48 heqat.»

Méthode de calcul :

1 8
2 16
4 32
? 8 64

et

1 64
? 10 640
? 1/2 320

960
? 1/10 96
? 1/20 48

La formule algébrique équivalente serait par conséquent Volumecylindreenkhar = [ (d − (1 / 9) * d) 2] * h * (3 / 2) , avec d le diamètre du disque et h, la hauteur du cylindre.

Le papyrus Kahun quant à lui, présente un calcul faisant intervenir une seconde méthode :

Calcul du problème K4 du papyrus Kahun 
? 1 12
2/3 8
? 1/3 4

16

et

? 1 16
? 10 160
? 5 80

256

et

? 1 256
2 512
? 4 1024
? 1/3 85 1/3

1365 1/3

Ce calcul, répondant au problème du calcul d'un cylindre dont l'énoncé manque, peut être traduit en langage algébrique moderne. L'énoncé devait demander au scribe de calculer le volume en khar d'un grenier rond de 12 coudées de diamètre et de 8 coudées de hauteur.

Nous traduirions le raisonnement du scribe par l'application de cette formule : Volumecylindreenkhar = (2 / 3) * h * [d + (d / 3) ]2, formule strictement équivalente à celle énoncée plus haut reposant sur le calcul de l'aire d'un disque[17].

Problème 41 du papyrus Rhind (à gauche, texte en hiératique; au centre, transcription en hiéroglyphes ; à droite, inversion des signes et translittération)

Volume d'une pyramide tronquée

Pyramide tronquée étudiée dans le problème 14 du papyrus de Moscou

Le problème M14 du papyrus de Moscou est remarquable en ce sens qu'il dévoile l'extraordinaire capacité des anciens Égyptiens à inventer et utiliser des méthodes de calcul complexes et d'une idéale justesse.

Énoncé du problème M14 du papyrus de Moscou 
«Méthode de calcul d'une pyramide tronquée. Si on te dit : Une pyramide de 6 pour la hauteur par 4 sur la base, par 2 sur le sommet. Calcule le carré de 4. Le résultat est 16. Prends le double de 4. Le résultat est 8. Prends le carré de 2. Le résultat est 4. Tu dois additionner le 16, le 8 et le 4. Le résultat est 28. Prends 1/3 de 6. Il vient 2. Prends 2 fois 28. Il vient 56. Le résultat est 56. Tu trouveras cela correct.»

Cet énoncé décrit le calcul suivant :

V = \frac{1}{3} 6(4ˆ2 + 4 \times 2 +2ˆ2)

que on pourrait traduire particulièrement précisément par :

V = \frac{1}{3} h(aˆ2 + a b +bˆ2).

formule générale exacte d'une pyramide tronquée.

Le moyen mis en œuvre par les Égyptiens pour déterminer une méthode aussi complexe nous est inconnu. Les babyloniens eux-mêmes ne sont parvenus qu'à une approche approximative du résultat pouvant être associée à la formule suivante :

V = \frac{1}{2} h(aˆ2 + bˆ2).[18]

Volume d'un tronc de cône

reconstitution de la clepsydre d'Oxyrhynque

Un papyrus d'époque tardive, mais découvert en Égypte à Oxyrhynque traite du volume d'un tronc de cône identifié à une clepsydre. La description de cet instrument rappelle de très près la et démontre que les anciens Égyptiens furent particulièrement tôt capables de calculer de tels volumes.

Notes

Sources


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